ANALISIS REAL I: TOPOLOGIA ELEMENTAL Y ESPACIOS METRICOS - 525301
- Descripción :II. DESCRIPCION
Asignatura teorica que profundiza y amplia los aspectos conceptuales de calculo,
poniendo enfasis en el rigor del razonamiento matematico, dentro de contextos
topologicos mas generales, especialmente de espacios metricos, particularizando
a Rn.
Competencias:
1.- Capacidad de abstraccion, analisis y sintesis.
2.- Capacidad de desarrollar razonamientos axiomatico-deductivos formales - Resultados aprendizaje esperados :Resultados:
1.- Demostrar propiedades de los numeros reales a partir de un sistema basico de axiomas.
2.- Reconocer y demostrar propiedades basicas de la topologia de espacios metricos.
3.- Manipular sucesiones y series de numeros reales.
4.- Reconocer y demostrar propiedades basicas de continuidad de funciones en espacios metricos y su relacion con la topologia de los mismos.
5.- Reconocer y demostrar propiedades basicas de la derivacion e integracion de funciones reales.
6.- Manipular sucesiones y series de funciones reales.
- Contenidos :1) Topologia elemental
- Nociones basicas: espacio topologico, abiertos, vecindades, puntos interiores,
topologias fuerte y debil; ejemplos de topologias, topologia en Rn; puntos de
acumulacion, clausura, conjuntos cerrados, principio de dualidad entre abiertos y
cerrados.
- Subespacios topologicos y topologias producto; conjuntos densos y espacios
separables; conjuntos conexos.
- Continuidad y compacidad: funciones continuas, espacios de Hausdorff, espacios
topologicos compactos; teoremas de Heine-Borel, Borel-Lebesgue y Weierstrass.
- Sucesiones: convergencia, puntos de aglomeracion, bases numerable; cerradura,
continuidad y compacidad por sucesiones; teorema de Dini.
- Equivalencia topologica: homeomorfismo, espacios homeomorfos.
2) Espacios metricos
- Espacios metricos y normados; desigualdades de Holder y Minkowski para sucesiones finitas e infinitas; metrica y espacio de Chebyshev, metrica discreta; espacios producto.
- Propiedades topologicas de espacios metricos; continuidad de funciones,
continuidad uniforme, continuidad Lipschitz, continuidad Lipschitz de la norma y de la metrica; conjuntos densos, espacios metricos separables; equivalencia topologica; equivalencia metrica, isometrias.
3) Espacios metricos completos
- Completitud de espacios metricos; teorema de categorias de Baire. Funciones diferenciables en espacios de Banach; teoremas del valor medio y de Taylor; teoremas de la funcion inversa y de la funcion implicita.
- Compacidad en espacios metricos: conjuntos totalmente acotados, teorema de Bolzano-Weierstrass; teorema de Ascoli-Arzela; teorema de extension de Tietze; teoremas de aproximacion de Weierstrass y
Stone-Weierstrass.
4) Aplicaciones contractivas y puntos fijos
- Teoremas del punto fijo: teorema del punto fijo de Banach, teoremas del punto fijo de
Brouwer y Schauder.
- Analisis de soluciones de ecuaciones diferenciales: existencia, unicidad, prolongacion y dependencia continua de parametros. - Metodología :Tres horas de clases teoricas, dos horas de clases practicas, tareas y exposiciones de trabajo.
- Evaluación :De acuerdo al Reglamento Interno de Docencia de Pregrado de la Facultad de Ciencias Fisicas y Matematicas.
- Evaluaciones parciales.
- Evaluacion de recuperacion. - Facultad :CS FISICAS Y MATEMATICAS
- Departamento :INGENIERIA MATEMATICA
- Creditos :4
- Cupos :40
- Campus :CONCEPCION